مفهوم الانحدار

مفهوم الانحدار:

يقصد بالانحدار Regression تقدير العلاقة بين متغيرات أحدها تابع ومتغير أو أكثر من المتغيرات المستقلة في صورة جبرية باستخدام البيانات المتوفرة عن المتغيرات بصياغة معادلة أو منحنى يفسر هذه العلاقة. وتعرف المعادلة المفسرة للعلاقة بمعادلة الانحدار. ونتناول فيما يلي نوعين للانحدار وهما الانحدار البسيط والانحدار المتعدد.

الانحدار الخطي البسيط: 

يشرح تحليل الانحدار Regression Analysis الكيفية التي يرتبط بها متغير بمتغير آخر، بصياغة معادلة تستخدم لتقدير قيمة غير معلومة لمتغير معين من خلال قيمة معلومة لمتغير آخر. فكبداية نبدأ برسم شكل الإنتشار للتأكد من وجود علاقة خطية تمثلها المعادلة: 

       Y_i   =  α   +   β X_i

ونظراً لوجود فرق بين قيم المتغير التابع النظرية وبين قيمته المشاهدة فإنه لابد لتقريب العلاقة إلى الحالة الحقيقية من إضافة المتغير العشوائيStochastic Variable  أو حد الاضطراب Disturbance Term للعلاقة لتصبح:

Y_i  =  α   +   β X_i  + U_i                                                                         

وتتمثل المشكلة الأساسية للاقتصاد القياسي في إيجاد قيم معاملات Coefficients الانحدار a وb والتي تعتبر تقديرات لقيم المعالم   αو  β في المجتمع، وهنا تستخدم طريقة المربعات الصغرى الاعتيادية(OLS)  Ordinary Least Squares Method في تحديد هذه المعاملات. تمتاز طريقة المربعات الصغرى الاعتيادية بسهولة تقديرها للمعلمات، وفعاليتها، ومنطقية النتائج المتحصلة بواسطتها، فهي تحقق أفضل خط للعلاقة المتوسطة بين المتغيرين حيث يكون مجموع مربع الانحرافات عند النهاية الصغرى.  وتكون معلمات النموذج كالتالي:-

حيث أن:

                      

 اختبار فرضيات المقدرات والتنبؤ:

    تتمثل الخطوة التالية لتقديرات معلمات النموذج في إجراء الاختبارات اللازمة وفقاَ للمعايير الاقتصادية والإحصائية والقياسية، والاختبار الإحصائي يعتمد أساساً على الانحراف المعياري  Standard Devation(عند أخذ عينة من المجتمع) أو الخطأ المعياري Standard Error  (المجتمع كاملاً) والذي هو عبارة عن الجذر التربيعي للتباين Variance، ويقاس بالقانون التالي:

ولاختبار معنوية المعلمات المقدرة نجري الاختبار (t) حيث يتم مقارنة (t) المحسوبة مع (t) الجدولية أمام درجات الحرية (n-k) وعند مستوى معنوية 5% أي بدرجة ثقة 95%، فإذا كانت (t) المحسوية أكبر من (t) الجدولية فإن ذلك يعكس دلالة معامل الارتباط بين المتغيرين. أما لاختبار معنوية معادلة الانحدار فنستخدم نسبة التباين (F).

 هذا ويعكس معامل التحديد r² و الذي يختبر به جودة التوفيق، نسبة التغير الذي يمكن أن يحدث للمتغير التابع نتيجة تغير المتغير المستقل مفسراً بمعادلة الانحدار وهو:

ومعامل التحديد هو مربع معامل الارتباط (r) الذي هو مقياس لدرجة العلاقة بين المتغيرين التابع والمستقل فلو كانت قيمة r مثلاً تساوي 86% ، نقول بأن انحدار المربعات الصغرى للمتغير  r على X تفسر 74% من الانحرافات في Y. 

مثال

باستخدام بيانات الجدول التالي نقوم بحساب معلمات النموذج:

Xi	Yi	Xi2	Yi2	Xi Yi
1	5	1	25	5
2	7	4	49	14
3	8	9	64	24
6	14	36	196	84
5	11	25	121	55
9	18	81	324	162
7	13	49	169	91
6	12	36	144	72
39	88	241	1092	507

                      

                    

 

وبتقدير قيم كل من a و b تكون معادلة الانحدار على الممثلة للعلاقة السابقة كالتالي:-

             y   =  3.527   +   1.533 x

وعلى ذلك فإنه إذا كانت قيمة X محددة و تساوي 6 ، فإن قيمة Y تكون:-

 y   =  3.527   +   1.533 (6)     =   3.527  + 9.198       = 12.725          

                                                                                                                           الانحدار الخطي المتعدد: 

 يختلف الانحدار المتعدد عن الانحدار البسيط في كونه يفترض وجود أكثر من متغير مستقل، أي أن المتغير التابع يعتمد عى متغيرين مستقلين فأكثر، بحيث تقدر معادلة الانحدار المتعدد العلاقة بين هذه المتغيرات. وتعتمد تقديرات معلمات معادلة الانحدار المتعدد على طريقة المربعات الصغرى التي تبنى على أساس أن مجموع الانحرافات بين قيم المشاهدة و قيمتها النظرية = صفر، أي أن تقدير معلمات معادلة الانحدار يعتمد على الوصول بالبواقي إلى المجموع الصفري أو إلى النهاية الصغرى. وإذا كان رمز انحرافات القيم e، فإن مجموع مربع الانحرافات يكون:

 

و عليه تأخذ معادلة الانحدار الخطي المتعدد الشكل التالي:

 وتكون قوانين تقدير معلمات النموذج في حالة متغيرين مستقلين مثلاً كالتالي:

                                                                                        

وعادة ما يتم حل نماذج الانحدار المتعدد بواسطة برامج إحصائية مختلفة للحاسب الآلي. وعند وضع النموذج نتعرف أولاً على المتغيرات المستقلة محل الدراسة وتحويل الدالة الاقتصادية إلى معادلة رياضية مع تحديد الشكل الرياضي للمعادلة لإيجاد العلاقة بين متوسط قيمة المتغير التابع والمتغيرات المستقلة. وباستخدام برامج الحاسب الآلي يتم الحصول على معاملات المتغيرات وإجراء الاختبارات الاحصائية اللازمة.