نظريات هندسة الدائرة

نظرية

إذا تقاطعت دائرتان فإنّ خط المركزين ينصف الوترَ المشترك ويكون عمودياً عليه .

         

نظرية (2)

المستقيم الواصل بين مركز الدائرة ومنتصف وترٍ فيها غيرُ مارٍ بالمركز ، يكونُ عمودياً على ذلك الوتر .

         

نظرية (3)

العمود النازل من مركز الدائرة على أي وتر فيها ينصَّفه .

         

نظرية (4)

 إذا تساوى وتران في دائرة , كان بُعداهما عن مركزها متساويين .

         

نظرية (5)

الزاوية المحيطية المرسومة على قطر الدائرة تساوي 90 ْ  .

         

نظرية (6)

إذا تساوى بُعدا وترين في دائرة عن مركزها كان الوتران متساويين .

         

نظرية (7)

الزاوية المركزية تُساوي ضعفَ الزاوية المحيطيةِ المرسومةِ معها على القوسِ نفسهِ .

         

نظرية (8)

الزاويتانِ المحيطيتانِ المرسومتانِ على قوسٍ واحدٍ في الدائرةِ متساويتان .

* أوضاع مستقيم بالنسبة لدائرة

 المستقيم العمود على نصف قطر الدائرة م ن في النقطة ن يكون مماس للدائرة في ن

 العمود المرسوم من مركز الدائرة على وتر فيها ينصفه     

(تستخدم هذه النظرية لبرهان تساوي قطعتين مستقيمتين)

المستقيم المرسوم من مركز الدائرة ومنتصف وتر فيها عمود على ذلك الوتر  (تستخدم لبرهان تعامد مستقيمين)

 محور أي وتر في الدائرة يمر من مركزها

مر كز الدائرة التي تمس أضلاع المثلث داخلا هي ملتقى منصفات القطاعات الزاوية لذلك المثلث

       

التناظر في الدائرة

كل قطر في الدائرة محور تناظر لها مر كز الدائرة مركز تناظر لها

قطر الدائرة العمود على وتر قوس منها ينصف ذلك القوس

      (لبرهان تساوي قوسين)  ب د = ب ج

الوتران المتوازيان في دائرة يحصران قوسين متطابقان

     (لبرهان تساوي قوسين)  د ق = ج ص

إذا توازى وتر في الدائرة ومماس لها كانت القوسان المحصوران بينهما متطابقان

     (لبرهان تساوي قوسين) ب د = ب ج

الأوضاع المختلفة لدائرتين

 الدائرتان المتقاطعتان:دائرتان تشتركان بنقطتين مختلفتين

  الدائرتان المتماستان:دائرتان تشتركان بنقطة وحيدة  .

       أ) تماس داخلي:إذا وقع مركز أحداهما داخل مركز الأخرى

      ب)تماس خارجي:إذا وقع مركز كل منهما خارج الأخرى

  الدائرتان المتباعدتان:دائرتان لا تشتركان بأي نقطة

  خط المركزين لدائرتين متقاطعتين هو محور الوتر المشترك لهما

خط المركزين لدائرتين متماستين يعامد المماس المشترك لهما في نقطة تماسهما

الزاوية المركزية وقياس القوس:

كل قوس في دائرة يقاس بقياس زاويته المركزية وبالعكس

 إذا تساوى طولا وترين في الدائرة كان بعدا مركز الدائرة عنهما متساويين

      (لبرهان تساوي طولا قطعتين مستقيمتين) م س= م ع

إذا تساوى بعدا مركز الدائرة عن وترين فبها كان طولا الوترين متساويين 

       (لبرهان تساوي وترين)  ج د =ل و

الزوايا المحيطية في الدائرة:

  قياس الزاوية المحيطية في الدائرة نصف قياس المركزية المشتركة معها بالقوس

زوايا القطاعات المحيطية المشتركة بقوس في دائرة متساوية

      (لبرهان تساوي زوايا)

الزوايا المحيطية المقابلة لأقواس متطابقة في دائرة متساوية

      (لبرهان تساوي زوايا)

الزاوية المحيطية المقابلة لقوس نصف الدائرة قائمة

     (لبرهان أن الزاوية قائمة)

  وتر المثلث القائم المرسوم في دائرة هو قطر لتلك الدائرة

 نظرية الزاوية المماسية: الزاوية المماسية تقاس بنصف القوس المقابل لها 

عكس نظرية الزاوية المماسية  (لبرهان أن المستقيم مماس)

إذا رسم من نقطة خارج دائرة مماسان لها فإن المستقيم المار من تلك النقطة ومن مركز الدائرة يكون:

   1)عمودا على الوتر المحدد بنقطتي التماس وينصفه

        (م و عمود على ج ب)و (ج س= س ب)

   2)ينصف القطاع الزاوي الذي يشكله المماسان  (ج و س = س و ب )

   3)ينصف القطاع الزاوي الذي يشكله نصفا القطرين الذي ينتهي كل منهما بإحدى

      نقطتي التماس (ج م س= ب م س)

   4)ينصف كلا من القوسين المحدودتين بوتر التماس   (ج ق =ق ب )

 

الرباعي الدائري

 معايير إثبات أن الرباعي دائري:

1)زاويتان متقابلتان متكاملتان   ب تكمل د

2)زاوية تساوي الزاوية الخارجية المجاورة لمقابلة تلك الزاوية  ل ج د=و

3)رؤوسه متساوية البعد عن نقطة ثابتة

4)يتشكل بين قطريه وضلعين متقابلتين فيه قطاعان زاويان متطابقان    ب ج و = ب د و

* المضلع المحيط :

هو مضلع كل أضلاعه مماسات للدائرة .