الاخطاء في الحسابات العددية

 الاخطاء في الحسابات العددية

ان الاخطاء التي تدخل في الحسابات العددية بصورة عامة مهما كان اسلوب الحساب باليد او الحاسبة الالكترونية او غيرها يمكن حصرها بالانواع التالية :

1_ اخطاء الانسان Human error

2_الاخطء في البيانات  Error  in the data

3_اخطاء القطع Truncation error

4_ اخطاء التدوير Rounding error

اخطاء الانسان تشمل الاخطاء غير المقصودة  الناتجة عن نقل او طبع الارقام او في الحسابات او في البرامج او في العلاقات الرياضية المستخدمة . وافضل اسلوب لتفادي هذه الاخطاء باستعمال الطريقة بتعويض بيانات حالة خاصة ومقارنتها بنتائج محسوبة بالحاسبة اليدوية  . اما الاخطاء في البيانات فتكون غالبا بسبب الطرق القياسية لكونها معطاة بدقة محددة . والاخطاء في البيانات تسبب اخطاء في الحل . فاذا كان التغير قليلا في البيانات يسبب تغيرا كبيرا في الحل فتسمي مشكلة الحل السيئة . اما اذا كان التغير القليل في البيانات يسبب تغيرا صغيرا في الحل فتسمي مشكلة الحالة الحسنة .

مثال [2] :

اذا كان جذر المعادلة x²-1.064x+0.2830=0    لاربع مراتب كسرية هما 0.5369 , x=0.5271  فذا كان التغير صغيرا في قيمة المعامل الاول للدالة بمقدار 0.0001  فيكون 1.0461 فما نوع المشكلة .

الحل

ان حل المعادلة -1.064x+0.2830=0 x²لأربع مراتب كسرية هما جذران x=o.5408, 0.5233  فمن الواضح  ان تغيرا بسيطا  0.0001 في البيانات يماثل تغيرا كبيرا  0.004  في الحل فتكون مشكلة الحالة سيئة

ان العديد من طرق التحليل العددي تستعمل متتاليات متعددة الحدود الى مالانهاية وهذه بدورها تحتاج الى مالانهايه من الحسابات ولذلك فان قطع المتتالية لتحديدها بعدد معين من الحدود ينجم عنه خطأ القطع , واذا كان الحل المضبوط y والحل العددي بعد n من الخطوات هو y _n فان


خطأ القطع        e=y-y_n

حيث y _n من y عندما 

اخطاء التدوير والقطع : ان واحدا من اهم مصادر الاخطاء هو استعمال الاعداد المدورة بدلا من المضبوطة فعلى سبيل المثال عندما نقول بان عدد نفوس الجمهورية العراقية سنة 1977 هو 13 مليون نسمة نكون قد استخدمنا رقمين مميزين فقط لتقريب عدد النفوس الحقيقي 12.670.250 نسمة بصورة مشابهة يدور العدد ان  9033,0.045651 الى  0.0457 و  9030  على التوالي عندما نريد ان نستخدم ثلاثة ارقام مميزة فقط .  في الامثلة السابقة نري  بان الارقام الاولى من اليمين للعدد المدور هي اما ان تكون قد ازدادت بمقدار 1 عما كانت علية سابقا او بقيت كما كانت , وذلك تبعا لرقم المجاور من اليمين في العدد الاصلي ان كان اكبر او يساوي 5 او اصغر من  5 على التوالي . ان الخطأ الناجم من تدوير عدد ما الى عدد معين من الارقام المميزة يسمي بخطأ التدوير .

ان الالات الحاسبة الالكترونية لا تدور الاعداد بل تقطعها , وعلية تحول عدد نفوس الجمهورية العراقية الى 12  مليون نسمة في حالة استخدام رقمين مميزين وتحول 0.045651 و 9033  الى 0.0456  و 9030 على التوالي في حالة استخدام ثلاثة ارقام مميزة , ان الخطأ في الاعداد الناتجة يسمى بخطأ القطع وقيمة في معظم الحالات اكبر من خطأ التدوير .

ان الاخطاء التي تدخل في الحسابات العددية بصورة عامة مهما كان اسلوب الحساب باليد او الحاسبة الالكترونية او غيرها يمكن حصرها بالانواع التالية :

1_ اخطاء الانسان Human error

2_الاخطء في البيانات  Error  in the data

3_اخطاء القطع Truncation error

4_ اخطاء التدوير Rounding error

اخطاء الانسان تشمل الاخطاء غير المقصودة  الناتجة عن نقل او طبع الارقام او في الحسابات او في البرامج او في العلاقات الرياضية المستخدمة . وافضل اسلوب لتفادي هذه الاخطاء باستعمال الطريقة بتعويض بيانات حالة خاصة ومقارنتها بنتائج محسوبة بالحاسبة اليدوية  . اما الاخطاء في البيانات فتكون غالبا بسبب الطرق القياسية لكونها معطاة بدقة محددة . والاخطاء في البيانات تسبب اخطاء في الحل . فاذا كان التغير قليلا في البيانات يسبب تغيرا كبيرا في الحل فتسمي مشكلة الحل السيئة . اما اذا كان التغير القليل في البيانات يسبب تغيرا صغيرا في الحل فتسمي مشكلة الحالة الحسنة .

مثال [2] :

اذا كان جذر المعادلة x²-1.064x+0.2830=0    لاربع مراتب كسرية هما 0.5369 , x=0.5271  فذا كان التغير صغيرا في قيمة المعامل الاول للدالة بمقدار 0.0001  فيكون 1.0461 فما نوع المشكلة .

الحل

ان حل المعادلة -1.064x+0.2830=0 x²لأربع مراتب كسرية هما جذران x=o.5408, 0.5233  فمن الواضح  ان تغيرا بسيطا  0.0001 في البيانات يماثل تغيرا كبيرا  0.004  في الحل فتكون مشكلة الحالة سيئة

ان العديد من طرق التحليل العددي تستعمل متتاليات متعددة الحدود الى مالانهاية وهذه بدورها تحتاج الى مالانهايه من الحسابات ولذلك فان قطع المتتالية لتحديدها بعدد معين من الحدود ينجم عنه خطأ القطع , واذا كان الحل المضبوط y والحل العددي بعد n من الخطوات هو y _n فان


خطأ القطع        e=y-y_n

حيث y _n من y عندما 

اخطاء التدوير والقطع : ان واحدا من اهم مصادر الاخطاء هو استعمال الاعداد المدورة بدلا من المضبوطة فعلى سبيل المثال عندما نقول بان عدد نفوس الجمهورية العراقية سنة 1977 هو 13 مليون نسمة نكون قد استخدمنا رقمين مميزين فقط لتقريب عدد النفوس الحقيقي 12.670.250 نسمة بصورة مشابهة يدور العدد ان  9033,0.045651 الى  0.0457 و  9030  على التوالي عندما نريد ان نستخدم ثلاثة ارقام مميزة فقط .  في الامثلة السابقة نري  بان الارقام الاولى من اليمين للعدد المدور هي اما ان تكون قد ازدادت بمقدار 1 عما كانت علية سابقا او بقيت كما كانت , وذلك تبعا لرقم المجاور من اليمين في العدد الاصلي ان كان اكبر او يساوي 5 او اصغر من  5 على التوالي . ان الخطأ الناجم من تدوير عدد ما الى عدد معين من الارقام المميزة يسمي بخطأ التدوير .

ان الالات الحاسبة الالكترونية لا تدور الاعداد بل تقطعها , وعلية تحول عدد نفوس الجمهورية العراقية الى 12  مليون نسمة في حالة استخدام رقمين مميزين وتحول 0.045651 و 9033  الى 0.0456  و 9030 على التوالي في حالة استخدام ثلاثة ارقام مميزة , ان الخطأ في الاعداد الناتجة يسمى بخطأ القطع وقيمة في معظم الحالات اكبر من خطأ التدوير .