امثلة تطبيقية تمارين ل المعادلات غير الخطية بمتغير واحد في التحليل العددي بالطرق التكرارية

حل المعادلات  غير الخطية بمتغير واحد  في التحليل العددي بالطرق التكرارية 

-2- الامثلة التطبيقية :

3-2-1- مثال [1]:

للمعادلة  جذر واقع ضمن الفترة  وذلك لان  و   من السهل رؤية جذر واحد  فقط في    . تعطي خوارزمية التنصيف القيم الموضحة  في الجدول التالي :

				n
2.375	1.5	2.0	1.0	1
- 1.79687	1.25	1.5	1.0	2
0.16211	1.375	1.5	1.25	3
- 0.84839	1.3125	1.375	1.25	4
0.35098-	1.34375	1.375	1.3125	5
- 0.09641	1.359375	1.375	1.34375	6
0.03236	1.3671875	1.375	1.35975	7
- 0.03215	1.36328125	1.3671875	1.35975	8
0.000072	1.365234375	1.3671875	1.36328125	9
- 0.01605	1.364257813	1.365234375	1.36328125	10
- 0.00799	1.364746094	1.365234375	1.364257813	11
- 0.00396	1.364990235	1.365234375	1.364746094	12
- 0.00194	1.365112305	1.365234375	1.364990235	13

بعد 13 من التكرارات  نجد   تقريبا للجذر P  بقيمة خطأ :

3-2-2- مثال [1]:

للمعادلة  جذر واقع ضمن الفترة  , هناك العديد من طرق  تغيير هذه المعادلة الى الصورة     بمعالجة جبرية بسيطة , وذلك كما يلي :

وللحصول على حل موجب نختار

باختيار   يتضمن الجدول التالي (3-2) نتائج تكرار النقطة الثابتة

	n
1.5	0
1.286953768	1
1.402540804	2
1.34540804	3
1.375170253	4
1.360094193	5
1.367846968	6
1.363887004	7
1.365916734	8
1.364878217	9
1.365410062	10
1.365223680	15
1.365230236	20
1.365230006	25
1.365230013	30

الجذر الفعلي هو 1.365230013  .

3-2-3- مثال [1]:

لتقريب حل المعادلة    حسب طريقة نيوتن رافسن نفرض    فنجد :

استنادا الى نظرية القيمة المتوسطة يوجد صفر لـ   واقع في  فان المشتقة للدالة تعطي

فان طريقة نيوتن تاخذ الصيغة

نختار تقريب ل   نحصل على تقريب ممتاز من اجل  n = 3  كما موضح في الجدول التالي :

	n
0.7853981635	0
0.7395361337	1
0.7390851781	2
0.7390851332	3
0.7390851332	4

فيكون الجذر   وذلك لان 

3-2-4- مثال [1]:

اوجد تقريب للدالة حسب طريقة القاطع  , نحتاج هنا الى تقريبيين أوليين باخذ

  و  ونستخدم القانون

سنلاحظ النتائج من الجدول التالي :

	n
0.5	0
0.7853981635	1
0.7363841388	2
0.7390581392	3
0.7390851493	4
0.7390851332	5

فيكون الجذر   وذلك لان 

3-2-5- مثال [1]:

اوجد تقريب للدالة حسب طريقة الوضع الخاطئ  بالتقريب الاولي نفسه المستخدم في المثال (3-4 )طريقة القاطع .

سنلاحظ النتائج من الجدول التالي :

	n
0.5	0
0.7853981635	1
0.7363841388	2
0.7390581392	3
0.7390848638	4
0.7390851305	5
0.7390851332	6

فيكون الجذر   وذلك لان 

3-2-6- مثال [1]:

a.

اوجد تقريب لكثيرة الحدود حسب طريقة مولر   بسماح قدره    , في الجدول التالي يظهر قيما مختلفة لـ

		i
-29.4007-3.89872i	- 0.555556+0.598352i	3
1.22112-1.19309i	0.435450+0.102101i	4
0.375057-0.670164i	- 0.390631+0.141852i	5
- 0.146746-0.00744629i	- 0.357699+0.169926i	6
- 0.183868 +0.539780 i	- 0.356051+0.162856i	7
0.286102 +0.953674 i	- 0.356062+0.162758i	8

b.
		i
- 1.37624	1.28785	3
0.126941	1.23746	4
0.219440	1.24160	5
0.257492	1.24168	6
0.257492	1.24168	7

c.
		i
- 0.611255	1.96059	3
0.748825	1.97056	4
0.295639	1.97044	5
0.259639	1.97044	6

0.162785i 1.241677 , 1.97044 , - 0.356062 فيكون القيم الواقعية لجذور المعادلة

حل المعادلات  غير الخطية بمتغير واحد  في التحليل العددي بالطرق التكرارية ايجاد جذر المعادلة التي لا نستطيع ايجاد جذرها بالطرق الجبرية الاعتيادية , ففي الحقيقة اننا لا نجد الجذر ولكننا نجد الجذر التقريبي للجذر, وقد رأينا من خلال دراستنا لهذا الموضوع ماهي افضل الطرق لايجاد تقريب افضل للجذر الحقيقي للمعادلة  من خلال المقارنة بين الطرق العددية وما هي نسبة الاخطاء في كل طريقة .